Geometria II

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Per contattarmi potete scrivere all’indirizzo filippo.favale[at]uninsubria.it mettendo in copia filippo.favale[at]unimib.it.

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Corso di Laurea in Matematica (Uninsubria) – Homepage del CdL

Orari e aule delle lezioni

Orario del secondo anno (CdL in Matematica)

Insegnamenti A.A. 2017/2018 per il Cdl in Matematica

Pagina dell’insegnamento “Geometria II” A.A. 2018/2019 (non aggiornato, al momento)
Pagina dell’insegnamento “Geometria II” A.A. 2017/2018 (tenuto dal Prof. Pigola)

Homepage del Prof. Pigola – pagina del corso di Geometria II svolto nell’ A.A. 2017/2018

Wolfram Alpha – Un sito che permette di rappresentare grafici di funzioni, calcolare derivate e integrali, risolvere sistemi lineari… spesso pure correttamente! Utile per confrontare i propri conti con quelli del computer (attenzione a usarlo bene…)

Programma

Il corso vuole introdurre introdurre gli strumenti fondamentali utili per andare ad analizzare la
geometria di curve e superfici differenziabili. Il corso è diviso in due parti. Nella prima parte
del corso si affronterà la teoria delle curve differenziabili (trattata in generale, ma con i
risultati fondamentali presentati sul piano e nello spazio) mentre nella seconda parte quella
delle superfici.

• Curve differenziabili
  Curve parametrizzate e concetto di curva differenziabile, Curve rettificabili e lunghezza di una curva di classe C¹ , retta tangente e curve regolari, parametri d’arco.
  Versore tangente per curve regolari, Curvatura di una curva regolare, Versore normale per una curva biregolare. Definizione di curvatura orientata e versore normale orientato per curva piane regolari. Ordine di annullamento/contatto tra curve e di una curva con un’ipersuperficie. Enti osculatori nel piano e analisi locale. Riferimento locale e formule di Frénet (2D). Teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane. Torsione di una curva spaziale. Riferimento locale e formule di Frénet (3D). Teorema fondamentale della geometria locale delle curve in 3D. Complementi.
• Superfici differenziabili
  Superfici parametrizzate e concetto di parametrizzazione locale per un insieme. Superfici regolari. Esempi di superfici regolari. Punti critici, valori critici e valori regolari per una funzione liscia da Rⁿ a R^m  . Componenti connesse di superfici di livello sono superfici regolari. Superfici di rotazione. Superfici rigate. Funzioni lisce tra superfici regolari e aperti di Rⁿ. Piano tangente in un punto di una superficie regolare, piano tangente affine. Differenziale di un’applicazione tra superfici. Prima forma fondamentale ed isometrie. Orientabilità e mappa di Gauss. Seconda forma fondamentale e curvature. Linee asintotiche e coniugate. Complementi.

Ricevimento

Durante lo svolgimento del corso, ricevimento su appuntamento da concordare via mail (mandando una mail a filippo.favale[at]uninsubria.it e a filippo.favale[at]unimib.it) con alcuni giorni di anticipo.
Dopo la fine del corso sarò in università nei giorni in cui ci sono gli appelli scritti e/o orali ma in caso di bisogno non ho problemi a organizzare incontri in remoto (ad esempio via skype) o a rispondere alle domande, quando possibile, via mail.

Modalità d’esame

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. Gli esercizi della prova scritta sono in parte preparati a partire da esercizi o risultati teorici svolti a lezione (o lasciati per esercizio), o che si trovano sul libro consigliato o a partire da esercizi sul sito del Prof. Pigola (che ha tenuto il corso l’anno scorso).

L’orale è fissato, salvo indicazioni contrarie, nel pomeriggio in cui si è svolto lo scritto. Il voto degli scritti di giugno, luglio e settembre, se sufficiente, è considerato valido fino all’ultimo appello di settembre 2019. Chi -pur essendo valutato sufficiente allo scritto- non volesse/potesse fare l’orale nel pomeriggio, mi scriva per concordare una data (o per comunicarmi che farà l’orale in una delle sessioni successive).  Un voto positivo, in ogni caso, decade dopo l’ultimo appello di settembre o nel momento in cui lo studente si iscrive a un altro appello. La data ultima per svolgere l’orale utilizzando il voto di uno scritto della sessione estiva è l’undici ottobre 2019. Gli interessati sono pregati di contattarmi entro il 30 settembre per fissare la data.

• Sessione di giugno: Giovedì 27/06 alle ore 11:00, aula VA2. Esiti e commenti
• Sessione di luglio: Venerdì 12/07 alle ore 10:30, aula VA2. Esiti e commenti.
  Visto che ha creato problemi, ecco la soluzione del secondo esercizio dello scritto.
• Sessione di settembre: Venerdì 06/09 alle ore 10:30, aula VA2. Esiti.
• Sessione di settembre (II): Lunedì 23/09 alle ore 10:00/10:15, aula 1.1. Esiti e commenti.
• Sessione di gennaio: Giovedì 30/01 alle ore 10:00, aula VA2. Esiti e commenti.
• Sessione di febbraio: Lunedì 17/02 alle ore 10:00, aula 1.1. Esiti.

Bibliografia

Il corso è basato principalmente sul libro

Curve e Superfici, Marco Abate, Francesca Tovena, Editore: Springer 2006.

Un’ottima fonte di esercizi è il libro “Curve e superfici differenziabili. Esercizi svolti” di Giulio Campanella (Aracne editore 2000).

Tutorato

Ad affiancare le lezioni sono previste 12 ore di tutorato che verranno svolte dal dott. Davide Astesiano. Il tutorato sarà nelle seguenti date:

• Martedì 14 maggio, 9:00-11:00, Aula VA3
• Lunedì 20/05, 27/05, 11:00-13:00, Aula VP1
• Mercoledì 04/06, 14:00-16:00, Aula VP2
• Mercoledì 12/06 e 19/06, Aula VP2.

Qui troverete, a grandi linee, quali sono stati gli esercizi svolti.

Orario delle lezioni

Il corso prevede 64 ore di lezione (8 cfu). Le lezioni saranno il martedì dalle 14:00 alle 17:00 in aula VP4 (via Valleggio, nella piazza) e il mercoledì dalle 10:00 alle 13:00 in aula 4.15 (in via Valleggio, al quarto piano).

Sono previste variazioni sul’orario in certi giorni specifici o sull’aula in giorni specifici:

• 03/04 (la lezione inizia alle 9:00 invece che alle 10:00)
• 09/04 (la lezione è in aula 4.14 invece che in VP4)
• 30/04 (lezione sospesa)
• 15/05 (lezione sospesa)
• 29/05 (lezione sospesa)

Registro delle lezioni

1. 05/03 (Mar)
   Introduzione al corso. Curve parametrizzate, grafici luoghi degli zeri e relazioni tra i tre concetti. Riparametrizzazioni, Curve differenziabili in R³ , Retta tangente. Curve rettificabili. Formula per il calcolo della lunghezza di una curva di classe C¹, curve regolari e parametro arco. “Unicità” del parametro arco. Esempi.
2. 06/03 (Mer)
   Versore tangente per curve regolari e curvatura calcolata rispetto a un parametro arco. Versore normale rispetto a un parametro arco per curve biregolari. Curvatura, versore tangente e normale per una curva parametrizzata con un parametro qualsiasi. Caratterizzazione della biregolarità in termini dell’indipendenza della derivata prima e seconda della curva parametrizzata. Raggio di curvatura. Buona definizione del concetto di regolarità e biregolarità. Esempi ed esercizi.
3. 12/03 (Mar)
   Il caso delle curve piane: curvatura orientata e normale orientata per curve regolari parametrizzate con parametro arco. Formule di Frenét. Caratterizzazione della curvatura orientata tramite la variazione dell’angolo formato dal versore tangente e l’asse x. Curve piane a curvatura costante hanno sostegno su rette o circonferenze. Curvatura orientata per curve parametrizzate con un parametro qualsiasi. Relazione tra curvatura orientata e curvatura. Esempi.
4. 13/03 (Mer)
   Ordine di annullamento di una curva lungo un’ipersuperficie. Enti osculatori. Il caso delle curve piane: espressione locale della curva e comportamento locale. Parabola osculatrice e circonferenza osculatrice. Buona definizione dell’ordine di annullamento di una curva differenziabile lungo un’ipersuperficie. Ordine di contatto tra curve. La curvatura orientata è invariante per isometrie dirette. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve piane di classe C²: la curvatura orientata ricostruisce una curva a meno di isometrie dirette. Esempi ed esercizi.
5. 19/03 (Mar)
   Vettore binormale per curve biregolari. Il caso delle curve spaziali: torsione di una curva di classe C³ e formule utili per ricavare versori tangente, normale e binormale per curve nello spazio.  Esempi ed esercizi.
6. 20/03 (Mer)
   Piano osculatore, sfera osculatrice. Invarianza della torsione per isometrie dirette. Versore binormale e curve piane. Espressione locale e Teorema fondamentale della teoria locale delle curve spaziali di classe C³: la curvatura e la torsione ricostruiscono una curva a meno di isometrie dirette.  Esempi ed esercizi.
7. 27/03 (Mar)
   Teoria globale delle curve piane. Il concetto di grado per una curva chiusa continua a valori su S¹, omotopie e grado. Sollevamento di una curva di classe C¹ e formula per calcolare il grado di una curva parametrizzata differenziabile. Applicazioni del concetto di grado (I): l’indice di avvolgimento. Teorema della curva di Jordan (senza dimostrazione).
8. 28/03 (Mer)
   Applicazioni del concetto di grado (II): l’indice di rotazione. Curvatura totale di una curva differenziabile chiusa e sua relazione con l’indice di rotazione. Formula per la variazione dell’angolo del versore tangente. Angoli esterni per curve regolari a tratti. Teorema delle tangenti di Hopf (senza dimostrazione). Convessità. Ovali e parametro theta. Integrando l’ampiezza di un ovale si ottiene il doppio della sua lughezza. Esercizi ed esempi.
9. 02/04 (Mar)
   Esercizi vari.
10. 03/04 (Mer) – la lezione inizia alle 9:00
    Concetto di superficie parametrizzata e di parametrizzazione locale. Le superfici parametrizzate sono localmente omeomorfismi sull’immagine. Concetto di atlante e di superficie regolare. Esempi di superfici: grafici di funzioni lisce di 2 variabili, la sfera (I).
11. 09/04 (Mar)
    Punti e valori critici, valori regolari per funzioni lisce. Preimmagini di valori regolari di funzioni di 3 variabili hanno superfici regolari come componenti connesse. Una superficie regolare è localmente un grafico di una funzione liscia in 2 variabili. Esempi: la sfera (II), l’elicoide.
12. 10/04 (Mer)
    Superfici parametrizzate che hanno sostegno su una superficie regolare sono aperte. Superfici parametrizzate che hanno sostegno su una superficie regolare sono parametrizzazioni locali. Esercizi.
13. 16/04 (Mar)
    Superfici di rotazione ottenute da curve regolari che sono omeomorfismi sull’immagine sono superfici regolari. Caso delle curve chiuse. I cambi di coordinate sono diffeomorfismi.
    Funzioni differenziabili da una superficie a R. Funzioni differenziabili tra superfici. Rappresentazione in coordinate di una funzione differenziabile.
14. 17/04 (Mer)
    Spazio tangente in un punto di una superficie regolare. Spazio tangente affine. Orientabilità di una superficie tramite mappa di Gauss. Criteri per orientabilità. Superfici di livello e superfici di rotazione sono orientabili. Esempi.
15. 07/05 (Mar)
    Criterio per la non orientabilità di una superficie. Differenziale di una funzione da una superficie a R e derivate direzionali. Differenziale di funzioni tra superfici e/o aperti R³ . Esercizi ed esempi.
16. 08/05 (Mer)
    Prima forma fondamentale di una superficie S. Rappresentazione in coordinate della prima forma fondamentale: i coefficienti metrici E, F e G di S rispetto a una parametrizzazione locale. Esempi. Isometrie in un punto di una superficie, Isometrie locali e isometrie. Superfici localmente isometriche e caratterizzazione in termini dei coefficienti metrici. Esercizi.
17. 14/05 (Mar)
    Usi della prima forma fondamentale per calcolare angoli e lunghezze di curve. Differenziale della mappa di Gauss come endomorfismo simmetrico dello spazio tangente. Seconda forma fondamentale. Curvatura normale di una curva su una superficie e sezioni normali. Esercizi.
18. 21/05 (Mar)
    Teorema di Meusnier. Rappresentazione in coordinate della seconda forma fondamentale: i coefficienti di forma e, f e g di S rispetto a una parametrizzazione locale. Curvature principali. Relazioni tra i coefficienti metrici e i coefficienti di forma. Esempi ed esercizi. Linee di curvatura e linee asintotiche.
19. 22/05 (Mer)
    Curvatura media, curvatura di Gauss. Curvatura di Gauss per superfici non orientate. Esempi ed esercizi.
20. 28/05 (Mar)
    Orientabilità di una superficie tramite atlanti orientati ed equivalenza tra i due concetti di orientabilità. Simboli di Christoffel di una parametrizzazione. Grandezze intrinseche di una superficie. Teorema Egregium di Gauss (con dimostrazione). Esempi.
21. 04/06 (Mar)
    Integrazione di funzioni su regioni regolari di superfici contenute in carte coordinate. Definizione di area, Formula integrale per l’area. Definizione di integrale di una funzione continua. Buona definizione della definizione.
22. 05/06 (Mer)
    Applicazioni conformi e isoareali. Esempi, esercizi e considerazioni conclusive sul corso.

Bonus content

“Fly Faster, Fly shorter” è un gioco educativo che ho realizzato assieme a Alessandro Cattaneo e Riccardo Moschetti per conto di Curvilinea, una cooperativa – di cui siamo soci e fondatori – e che si occupa di divulgazione della matematica proponendo attività in scuole e vari festival scientifici. Il gioco ha ricevuto una menzione d’onore al concorso internazionale “MPE – 2017”.

Il gioco è pensato per far sperimentare, giocando, dei concetti molto importanti e interessanti della teoria delle superfici che abbiamo affrontato durante questo corso e altri concetti che, sfortunatamente, non sono stati trattati (in particolare il concetto di geodetica).

GIOCA a Fly Faster, Fly shorter

Il gioco è molto semplice: un aereo si muove a velocità costante sulla Terra e, solo nel caso in cui gli si dia il comando, curva a destra o sinistra. Bisogna raggiungere un certo numero di bersagli, posti in giro per il mondo e lo scopo è cercare di farlo nel minor tempo possibile. La particolarità? Il giocatore vede l’aereo non sulla Terra ma su una cartina (che si può scegliere tra alcune cartine).

Cosa vi aspettate di vedere? Non solo l’aereo si guarderà bene dal viaggiare dritto e a velocità costante, se non si curva, ma si deformerà. E non poco :D. Provate a spiegare perché. Per aiutarvi, sappiate che, se, mentre giocate, premete il tasto “V”, invece di vedere il nostro povero aereo, vedremo due segmenti. Questi sono versori tangente alla sfera che sono il vettore tangente e normale al tragitto dell’aereo. Riuscite a capire quali mappe sono o meno conformi o isoareali?

Chiunque avesse curiosità sul gioco, sulle cartine scelte -tutte hanno un motivo per cui sono state messe nel gioco- sulla matematica dietro al gioco o altre curiosità mi scriva pure!