Il corso, tenuto in collaborazione con Sonia Brivio, ha come scopo quello di descrivere la costruzione degli spazi di moduli di fibrati vettoriali su curve. Più di metà del corso è dedicata a presentare argomenti preliminari quali il concetto di spazio dei moduli fine e coarse, la “Geometric Invariant Theory” e delle basi riguardanti la teoria dei fasci coerenti e dei fibrati vettoriali. Nella seconda parte del corso si analizzerà in dettagli la costruzione degli spazi di moduli di fibrati semistabili su una curva liscia proiettiva di genere g maggiore o uguale a 2 e trattando a parte il caso di genere 0 e 1.
Il corso è parte del programma di Dottorato di ricerca in Matematica congiunto delle Università di Pavia, Milano Bicocca e dell’INdAM. Potete trovare qui il pdf ufficiale di presentazione del corso con alcune informazioni addizionali (riportate comunque più precisamente in questa pagina).
REQUISITI
E’ richiesta una conoscienza di nozioni di geometria algebrica e di teoria delle categorie di base.
CONTATTI
Per informazioni sul corso o per qualsiasi necessità relativa al corso potete scrivere a filippo.favale[at]unimib.it o a sonia.brivio[at]unimib.it.
LEZIONI
Le lezioni si terranno ogni lunedì, a partire dal 02/11/2020 incluso con un ritmo di 4 ore al giorno divise in due lezioni da 2 ore (2 la mattina e 2 al pomeriggio) fino al 21/12/2020.
Ulteriori appuntamenti saranno eventualmente fissati alla fine del corso per seminari integrativi.
Le lezioni si terranno online, sulla piattaforma Webex. Chi è interessato a seguire può essere inserito nelle mailing list del corso scrivendo a filippo.favale[at]unimib.it.
REGISTRO DELLE LEZIONI
- Lunedì 2 novembre, ore 11:00 (2 ore)
Introduzione corso. Concetto di problema di moduli, famiglie di oggetti, spazi di moduli fini e coarse. Concetto di famiglia universale. Definizioni alternative. - Lunedì 2 novembre, ore 14:00 (2 ore)
Esempi di problemi di moduli e di spazi di moduli (spazi proiettivi e grassmaniane). Ostruzioni alla costruzione degli spazi di moduli: boundedness di un problema di moduli e “jump phenomena”. - Lunedì 9 novembre, ore 10:00 (2 ore)
Azioni di gruppi algebrici su varietà, gruppi affini e lineari, azioni razionali di gruppi su K-algebre, concetto di quoziente categoriale e di spazio delle orbite per l’azione di un gruppo G su una varietà X. Quozienti good e geometrici per l’azione di G su X. Significato geometrico del quoziente good (parametrizza le orbite chiuse dell’azione di G su X). - Lunedì 9 novembre, ore 13:00 (2 ore)
Gruppi riduttivi, geometricamente riduttivi, linearmente riduttivi, 14° problema di Hilbert e Teorema di Nagata. Quozienti GIT affini. I quozienti GIT affini sono good. Concetto di stabilità per l’azione di G su X (G-stabilità). - Lunedì 16 novembre, ore 10:00 (2 ore)
Azione di gruppi riduttivi su X proiettiva. Linearizzazioni di un’azione. GIT proiettivo. Punti semistabili e stabili per l’azione di G su X (G-semistabili e G-stabili). I quozienti GIT proiettivi sono good. Punti (G-)polistabili , S-equivalenza per un’azione di G su X e significato geometrico del quoziente GIT proiettivo (parametrizza le orbite semistabili polistabili/chiuse o le classi di S-equivalenza di punti G-semistabili). - Lunedì 16 novembre, ore 13:00 (2 ore)
Sottogruppi a un parametro. Criteri di semistabilità e di stabilità: criterio topologico e criterio di Hilbert-Mumford. Esempi. Applicazione del criterio di HM all’azione di SL(V) sulla grassmaniana Gr(m,V⊗W). - Lunedì 23 novembre, ore 10:00 (2 ore)
Legame tra problemi di moduli e quozienti. Famiglie localmente universali per un problema di moduli. - Lunedì 23 novembre, ore 13:00 (2 ore)
Richiami su fasci coerenti e localmente liberi. Richiami sui fibrati vettoriali. Equivalenza categoriale tra Vec(X) e la sottocategoria di Coh(X) dei fasci localmente liberi. Sottofasci, sottofibrati e saturazione di un fibrato. Fasci e fibrati globalmente generati. - Lunedì 30 novembre, ore 10:00 (2 ore)
Famiglie di fibrati vettoriali. Concetto di slope di un fibrato. Fibrati vettoriali semistabili e stabili. Stabilità tramite sottofasci e tramite quozienti. Proprietà dei fibrati semistabili, morfismi tra fibrati semistabili e tra fibrati stabili con la stessa slope. La categoria C(μ) è abeliana e artiniana. Fitrazione di Jordan-Holder di E e graduato gr(E) associato a E. Buona definizione di gr(E). Concetto di S-equivalenza per fibrati. Per g≥2 il problema di moduli di classificare fibrati semistabili di rango r e grado d modulo isomorfismo non ha spazio dei moduli in generale. - Lunedì 30 novembre, ore 14:00 (2 ore)
Famiglie di fasci coerenti e di quozienti. Polinomio di Hilbert per una varietà proiettiva in P^n. Il Quot-Scheme come spazio dei moduli fine per i quozienti di un fascio coerente. Proprietà fondamentali. - Lunedì 14 dicembre, ore 10:00 (2 ore)
Costruzione degli spazi di moduli per le classi di isomorfismo di fibrati stabili e per le classi di S-equivalenza di fibrati semistabili. - Lunedì 14 dicembre, ore 14:00 (2 ore)
Alcune proprietà degli spazi di moduli: dimensione e irriducibilità. Descrizione del tangente in un punto che rappresenta una classe di fibrati stabili. Il caso delle curve di genere 0: il Teorema di Grothendieck. Il caso delle curve di genere 1: i lavori di Atiyah e Loring Tu. - Lunedì 21 dicembre, ore 10:00 (2 ore)
Luoghi particolari degli spazi di moduli: spazi di moduli dei fibrati a determinante fissato. Geometria degli spazi di moduli. Divisori Theta generalizzati e associati a un fibrato vettoriale. - Lunedì 21 dicembre, ore 12:00 (1 ora)
Cenni al caso di una curva singolare (nodale). Caso irriducibile e caso riducibile: Teorema di esistenza degli spazi di moduli per le classi di isomorfismo di fasci torsion-free (w-)stabili e per le classi di S-equivalenza di fasci torsion-free (w-)semistabili.
BIBLIOGRAFIA
Libri
- P. E. Newstead, Introduction to moduli problems and orbit spaces, Tata Institute of Fundamental Research, Lectures on Mathematics and Physics, 51 (1978)
- J. Le Potier, Lectures on Vector bundles, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 54.Cambridge University Press, Cambridge, (1997)
- S. Mukai, Introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 81. Cambridge University Press, Cambridge, (2003)
Alcuni articoli citati durante il corso:
- M.F. Atiyah – Vector bundles over an elliptic curve, Proc. London Math. Soc. (3) 7 (1957)
- Loring W. Tu – Semistable bundles over an elliptic curve, Adv. Math. 98 no. 1 (1993)
- A. D. King, P. E. Newstead – Moduli of Brill-Noether pairs on algebraic curves. Internat. J. Math. 6, no. 5 (1995)
- TBC….